Ejemplo de escalamiento respecto al origen

Se quiere escalar el punto P(-1, 1) en un factor de 2 por ambos ejes. ¿Cuál es el punto resultante?

Datos

\begin{equation} \begin{gathered} P = (-1, 1) \\ S = \begin{bmatrix} 2 & 2 \end{bmatrix} \\ P' = (?, ?) \end{gathered} \end{equation}

Procedimiento

Se multiplica el vector por la matriz de escalamiento para conseguir la tripla P'.

\begin{equation} P' = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}

Resultado

\begin{equation} P' = (-2, 2) \end{equation}

Diagrama de la solución del ejemplo de escalamiento

Ejemplo de escalamiento general

Se quiere escalar P(3, 3) con respecto al punto C(1, 1), en un factor de 2 por ambos ejes. ¿Cuál es el punto resultante?

Diagrama de ejemplo de escalamiento general

Datos

\begin{equation} \begin{gathered} P = (3, 3) \\ C = (1, 1) \\ S = \begin{bmatrix} 2 & 2 \end{bmatrix} \\ P' = (?, ?) \end{gathered} \end{equation}

Procedimiento

Se necesita hacer la multiplicación de tres matrices, T(-C) que lleva el punto pivote al origen, S que realiza el escalamiento y T(C) que regresa el pivote a su posición original, y después multiplicar por el vector de P.

\begin{equation} P' = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 & 1 \end{bmatrix} \end{equation}

Resultado

\begin{equation} P' = (5, 5) \end{equation}

Diagrama de la solución del ejemplo de escalamiento general